Curso Completo de Integrales - Cálculo Integral - 23. Integral impropia de logaritmo natural entre trinomio

Hola, y bienvenidos a otro vídeo de Matefasil. En este vídeo vamos a calcular la integral de cero infinito de logarismo natural de x sobre x cuadrada menos bx más 1 por tx. Y para calcular esta integral vamos a empezar analizando otra integral, esta de aquí. La integral de cero infinito de logarismo de x elevado al exponente a más 1 sobre este mismo denominador.

En un momento más quedará claro cómo vamos a obtener el resultado que nosotros queremos a partir de esta integral. Lo primero que vamos a hacer aquí es un cambio de variable. Vamos a hacer que u sea igual a 1 sobre x. De aquí despejando x tenemos que x es igual a 1 sobre u, ya que la x pasa multiplicando y la u pasa dividiendo.

Y calculamos también el diferencial de x para sustituirlo acá, simplemente derivando 1 sobre u, que es menos 1 sobre u cuadrada multiplicado por el diferencial de u. Ahora hay que calcular los nuevos límites de integración. Recordemos que este tipo de cambio de variable en realidad lo único que hace con los límites de integración es intercambiarlos entre sí. Podemos comprobar eso si x tiende a 0 por la derecha, entonces u tiende a infinito positivo y si x tiende a infinito positivo, entonces u tiende a 1 sobre infinito, que eso tiende a 0.

Entonces vemos que los límites de integración van a ser los mismos, solo que en el orden inverso. Así que en nuestra nueva integral el 0 se convierte en infinito, el infinito en 0 y nos queda el logaritmo natural de en lugar de la x, ponemos 1 sobre u, pero como está elevado al exponente a, ponemos 1 sobre u elevado a a, y en la parte de abajo nos queda en lugar de x cuadrado, 1 sobre u al cuadrado, luego menos b por 1 sobre u, que es lo mismo que menos b sobre u, más 1, y también el diferencial de x hay que sustituirlo aquí, que es menos de u sobre u cuadrada. Ahora vamos a simplificar esta expresión lo más que podamos, este signo menos nos va a servir para multiplicarlo por la integral y poder cambiar de nuevo los límites de integración, aquí podemos hacer esta suma de fracciones y este u cuadrado que está aquí en el denominador se multiplica por este otro denominador, al hacer todo eso llegamos a esta integral de aquí, vean cómo los límites de integración ya los cambiamos porque multiplicamos por el menos, aquí al hacer la suma de fracciones nos queda 1 más u elevado a, sobre u elevado a, y en el denominador al multiplicar por u cuadrada, este u cuadrada con este de aquí se cancelan quedando 1, este u cuadrada por este 3, que queda menos b por 1 y u cuadrada por 1 queda u cuadrada. Vean que esta integral se parece mucho a la que teníamos aquí, o sea de nuevo volvemos a generar el mismo denominador, pero aquí nos queda un poco diferente el logaritmo, sin embargo como tenemos aquí una división podemos separar en una resta de logaritmos quedándonos entonces esta resta de integrales, el logaritmo de lo de arriba, menos el logaritmo de lo de abajo.

Vean aquí que esta integral es exactamente lo mismo que esta integral, aunque la variable de integración en este caso sea u, recuerden que las integrales definidas no importa la letra que utilicemos para representar la variable, ya que al final el resultado es un número y el número no depende de la variable escogida, entonces es lo mismo tener aquí u como variable de integración que tenerla como x, así que esta integral es lo mismo que esta de aquí, si nosotros a esta integral le llamamos y, entonces lo que tenemos aquí es y y aquí también tenemos y, así que hemos llegado esta ecuación, que y es igual a y, menos esta integral. Bueno, de aquí si esta integral que está negativa la pasamos al otro lado positiva y esta y que esta aquí positiva pasa a la derecha negativa, no es que la de esto de aquí y por supuesto a la ser esta resta y menos y nos da 0. Así que hemos llegado a este resultado que la integral de cero infinito de logaritmo natural de u elevado a sobre 1 menos b por 1, su cuadrada por de u es igual a 0 y vean que esto no depende del valor de a, a puede ser cualquier número real y esta integral termina siendo 0. Vean que esta integral de aquí es similar a esta de acá, aunque de nuevo la variable de integración aquí sea u y no sea x, la podemos poner como x y entonces es exactamente la misma de acá, sólo que los términos en el denominador está en otro orden, pero como el 1 y el u cuadrada son positivos, nos podemos intercambiar y nos queda exactamente lo de acá para el caso en el que a vale 1.

Como esta integral es válida para cualquier valor de a, en particular si el exponente de u es 1, que es lo mismo que aquí tener esta x elevado a exponente 1, esta integral entonces vale 0 y así hemos llegado finalmente al resultado. En un vídeo anterior ya calculamos la integral de logaritmo natural del seno de x y en este caso los invitó a ustedes a que calculen esta integral de menos b sobre 2 a b sobre 2 de logaritmo natural del seno de x más 1 por de x. Para calcularla en algún momento van a tener que utilizar el resultado que ya demostramos en un vídeo anterior sobre el logaritmo del seno y el logaritmo del coseno. Aquí la sugerencia es que primero hagan un cambio de variable del tipo x igual a menos u, el cual no va a cambiar los limites de integración.

Eso les va a dar una integral similar a esta de aquí, solo que va a cambiar el signo del seno, luego pueden sumar esas dos integrales, utilizar identidades trigonométricas y va a quedar muy claro como obtener el resultado. Lo simpito aquí intenten hacerlo y en el siguiente vídeo les mostraré el procedimiento paso a paso para que verifiquen su respuesta. Muchas gracias a todas las personas que me han apoyado con su donación a través de youtube y a través de Patreon, por aquí pueden ver sus nombres. Si ustedes quieren apoyarme por algunos de estos medios pueden hacerlo dando clic al botón de unirse que aparece a un lado del botón de suscribirse o el enlace a Patreon pueden encontrarlo en la descripción.