Curso álgebra lineal - Determine si el conjunto dado de vectores genera el espacio vectorial dado

Determinar si el conjunto dado de vectores genera el espacio vectorial dado En R^3 Para determinar si el conjunto de vectores dado genera el espacio vectorial en R^3, debemos verificar que el espacio generado por estos vectores debe ser todo el espacio vectorial R^3. Ahora, verifiquemos si el espacio generado por estos vectores es todo el espacio vectorial R^3. Para ello, necesitamos comprobar si cualquier vector en R^3 se puede expresar como una combinación lineal de los vectores dados. Resolviendo este sistema, encontramos que no podemos expresar todos los vectores en R^3 como combinaciones lineales de los vectores dados. Por lo tanto, el conjunto de vectores no genera todo el espacio vectorial R^3. En resumen, los vectores dados no generan el espacio vectorial completo en R^3. Definición: Combinación lineal Sean v_1,v_2,…,v_n vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma a_1 v_1+a_2 v_2+⋯+a_n v_n donde a_1,a_2,…,a_n son escalares se denomina una combinación lineal de v_1,v_2,…,v_n Definición: Conjunto generador Se dice que los vectores v_1,v_2,…,v_n de un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de los mismos. Es decir, para todo v∈V existen escalares a_1,a_2,…,a_n tales que v=a_1 v_1+a_2 v_2+⋯+a_n v_n Definición: Espacio generado por un conjunto de vectores Sean v_1,v_2,…,v_k , k vectores de un espacio vectorial V. El espacio generado por {v_1,v_2,…,v_k } es el conjunto de combinaciones lineales v_1,v_2,…,v_k. Es decir gen{v_1,v_2,…,v_k }={v:v=a_1 v_1+a_2 v_2+⋯+a_k v_k } Donde a_1,a_2,…,a_k son escalares arbitrarios Teorema: El espacio generado por vectores es un subespacio vectorial Si v_1,v_2,…,v_k son vectores en un espacio vectorial V, entonces gen{v_1,v_2,…,v_k } es un subespacio de V Teorema Sean v_1,v_2,…,v_n,v_(n+1),n+1 vectores que están en un espacio vectorial V. Si v_1,v_2,…,v_n generan a V, entonces v_1,v_2,…,v_n,v_(n+1) también genera a V. Es decir, si se agregan uno o más vectores a un conjunto generador se obtiene otro conjunto generador #algebralineal #educación Capítulos 0:34 definición de conjunto generador 2:33 combinación lineal 6:06 sistema de ecuaciones 9:12 el sistema NO tiene solución 10:31 los vectores NO generan a R^3